Nüve Forum


Matematik hakkinda Geometri ile ilgili bilgiler


GEOMETRİ a. (fr. géométrie; yun. geo-metria). Eukleides'e göre uzay şekilleri bilimi; F. Klein'e göre (Erlangen programı), uzayın bir dönüşümler grubunun değişemezlerini inceleme. (Bk. ansikl. böl.)|| Tasan geometri, uzay şekillerini, düzlem

Cevapla

 

LinkBack Seçenekler Stil
  #1  
Alt 11.06.10, 21:28
Administrator
 
Üyelik tarihi: Aug 2006
İletiler: 21.463
Blog Başlıkları: 13
CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!CiwCiw öyle bir şöhrete sahip ki kendinden önce namı yürüyor!
Standart Geometri

GEOMETRİ a. (fr. géométrie; yun. geo-metria). Eukleides'e göre uzay şekilleri bilimi; F. Klein'e göre (Erlangen programı), uzayın bir dönüşümler grubunun değişemezlerini inceleme. (Bk. ansikl. böl.)|| Tasan geometri, uzay şekillerini, düzlem şekillerle gösteren geometri dalı. (Bk. ansikl. böl.)
***8212;ANSİKL. Geom. Eukleides'in öğretisinden Klein'in öğretisine geçmek için 22 yüzyıl beklemek gerekti. Ama Eukleides-in yapıtı da (iskenderiye, İ.Ö. IV.-III. yy.) daha önceki gelişmelerin bir sonucuydu. Geometri, soyut ve tümdengelimli bilim olarak yunan düşüncesinin bir yapıtı olsa bile kökeni (Mezopotamya'ca ve Mısır*'da) çok daha eski dönemlere iner. ilk uygarlıkların geometrisi, kuşkusuz uygulama alanında, deneysel sonuçlar ve az çok doyurucu yaklaşıklık kuralları dizisi biçiminde ortaya çıktı; ancak bu savı destekleyecek hiçbir kanıt yoktur.
Yunan geometrisi (İ.Ö. 600 ile 300 arasında) daha önceki uygarlıkların pragmacılığını terk etti. Ayrıca kesikli buluşlar dönemini, sistemli buluşlar çağı izledi. Platon ve çağdaşları zamanında bu sistemli buluşların sonuçları belli bir sıra içinde toplanarak geometrinin öğeleri bir kitap haline getirildi. Bu yazılı yapıtlar arasında Eukleides'in, Stoikheia (Geometrinin öğeleri) adlı kitabı hem içerik hem de tümdengelim yönteminin sistemli kullanımı bakımından eksiksiz ve gerçek bir matematik anıtıdır. Bu yapıtta yalnızca, doğru ve çember gibi temel şekiller ele alınmış, pergel ve cetvel kullanılarak somut çözümleri elde edilmiştir. Yapıtın kuruluşunda temel oluşturan koyutlaı; Eukleides uzayının özelliklerini belirler Bu uzay, sonsuz ve homojendir; çünkü "sonlu her doğru, kendi doğrultusunda kesiksiz uzatılabilir" ve geometrik şekiller yer değiştirme sonucu değişime uğramaz.
Alan kavramı yunan geometrisinin temelini oluşturur; nitekim, Pythagoras okulunda (İ.Ö. V. yy.) geliştirilmiş çizim tekniği olan "alanların uygulaması", yerilmiş bir şekille aynı alanı taşıyan, yine verilmiş bir şekile benzer şekfc> çizimini konu alır. Bu teknik, Apollonios'a (iskenderiye, İ.Ö. III. yy.'ın ikinci yarısı) üç konik kesiti çizme olanağını verdi. Arkhimedes (Siracusa, İ.Ö. 287-212), artan ya da azalan eşitsizliklerden yararlanıp eğrisel uzunlukları doğrusal uzunluklarla, eğrisel alanları çokgen alanlarıyla karşılaştırmak için, istendiği kadar kesin bir yaklaşıklıkla eşitliği sağlayan tüketme yöntemini kullandı, iskenderiye* okulu'nda, Eukleides kesinliğiyle Babil ve Mısır teknikleri birleştirilerek daha çok uygulamaya yönelik bir geometri oluşturuldu.
Araplar, iskenderiye'yi aldıktan (642' de) sonra, yavaş yavaş yunan bilgilerini ele aldı, eleştirdi ve hellenistik geometrinin sınırlarını aşmadan bunları genişletti. Arap matematikçiler uygulamaya yönelik çizim yöntemlerini yalınlaştırdı (örneğin, pergel açıklığını değişmez tutarak), gökbilimin gereksinimleri için küre geometrisini ve trigonometriyi inceledi, tüketme yöntemini gittikçe daha karmaşık hacim hesaplarına uyguladı.
Ortaçağ'da Avrupa, yunan metinleri üstüne Haçlılar'ın (1100-1300) ya da tüccarların ilettiği arap çevirileri ve yorumlarından bilgi edindi. Öte yandan XV. yy.'da, istanbul'un alınmasından sonra Batı, Bizans bilginlerince korunmuş yunan kalıtını coşkuyla karşıladı.
izdüşüm yöntemlerini geometriyle bütünleştirme, rönesans matematikçilerinin bu bilim dalına yaptığı ilk katkı oldu. Bu yeniliğin kökeni, haritacıların ve sanatçıların uygulamalarına dayanır. Özellikle sanatçılar, uzay şekillerini, gözün görüş açısını temel alarak bir düzlem içinde göstermeye olanak veren geometrik kuralları, yani perspektif kurallarını ortaya koydu.
Girard Desargues (1591-1661), izdüşüm yöntemlerini kullanarak Brouillon project (1639) adlı yapıtında, konikler kuramının tekniklerini birleştirmeyi başardı. Nitekim konikleri, koninin tepesinden arakesit düzlemi üstüne düşürülen bir çember izdüşümü biçiminde yorumlayarak, konik kesitlere (çember ve iki doğru sistemi dahil), koninin tabanını oluşturan çemberin özelliklerini kazandırdı. Perspektifin, koşut doğrular sistemini kesişen doğrular sistemine dönüştürdüğünü saptayan Desargues, her doğru üzerinde yeni bir nokta, yani sonsuzdaki nokta kavramını getirdi; bu nokta uzlaşma gereği, koşut doğrular sisteminin kesişme noktası olacaktı. Dolayısıyla kesişen doğrular ve koşut doğrular aynı niteliği gösteriyordu.
XVIII. yy.'da, Descartes ile Fermat'nın yapıtlarında (1629; yayını 1679) ortaya çıkan analitik geometri yöntemleri Desargu-es'in görüşlerini unutturdu. Descartes, Geometrie (1637) adi* yapıtında, cebirsel yöntemleri, eğrileri incelemede kullandı; yavaş yavaş bir eğrinin denklemi düşüncesi ortaya çıktı. Descartes, düzlem eğriler (cetvel ve pergelle çizilebilen), katı eğriler (konik kesitler) ve doğrusal eğriler (kavkı, sarmal vb gibi bütün öbür eğriler) biçimindeki eski sıirflandırmayı bırakıp geometrik eğriler ve mekanik eğriler biçiminde bir ayrım yaptı. Bu eğrilerden yalnızca, iki x ve y koordinatı, cebirsel P(x, y)=0 denklemiyle birbirine bağlı olan geometrik eğrileri inceledi (günümüzde bunlara cebirsel eğriler denir). Yöntemlerinin kullanışlılığı, algoritmalarının kolaylığı nedeniyle analitik geometri, kısa sürede çok sayıda yandaş topladı ve ilk yöntemleri genişletildi.
XVIII. yy.'da, matematikçiler çalışmalarında daha çok fiziğe ağırlık verdiler, dolayısıyla eğriler ve yüzeyler konusunda geniş bilgi edinmek gerekti; örneğin devinen cisimlerin yörüngeleri eğrilerden oluşuyordu ve cisimler yüzeylerle çevriliydi. Sonsuz küçükler hesabının teknikleri, bir noktadan öbürüne değişen özellikleri incelemeye olanak verdi. Öte yandan bu hesap yöntemleri ile analitik yöntemlerin etkileşimi diferansiyel geometri' nln kökenini oluşturdu.
Geometri-0.jpg
Koordinatların kullanımı analitik geometriye çok büyük bir genellik kazandırdı, çünkü bu kullanım sonucu sentetik geometride kaçınılmaz olan birçok "şekil hali"***8482; göz önüne alma gereği kalmadı. Monge'u İzleyen geometriciler, izdüşüm-sel yöntemlere bu genelliği kazandırmaya çalıştı.
Monge'un, uzayın noktalarını, birbirine dik iki düzlem üzerindeki dikgen izdüşümlerime gösteren tasan geometri'yi kurması sonucu izdüşümsel geometri yeni bir atılım elde etti. Monge'un öğrencisi V. Pon-celet (1788-1867), Traité des propriétés projectives des figures (1822) [Şekillerin izdüşümsel özellikleri üstüne inceleme] adlı yapıtında üç ilkeye dayanan yalın ve genel yöntemler ortaya koydu: izdüşüm ilkesi genel tanıtlamaları özel yalın hallere indirgedi; süreklilik ilkesi şekillerin özelliklerini sonsuz ve sanal elemanlara genişletti; iklllik ilkesi, bir teoremde "nokta" yerine "doğru" ve "doğru" yerine "nokta" kavramını kullanmaya ve buradan hâlâ geçerli bir teorem çıkarmaya olanak verdi.
Bu yapıt "arı" geometrinin gerçek bir açıklaması olarak kabul edildi. XIX. yy.'da, biçime öncelik veren ve yalnızca, izdüşümle değişmeyen tasarı özelliklerini (hizalanma, ikikat oran vb.) inceleyen geometriciler ile cebirsel yöntemleri destekleyen çözümlemecilef arasında bir uçurum oluştu. Analitik yöntemlerden kurtulmuş bir "arı" geometri yaratma isteği C. von Staudt'un (1798-1867) izdüşümsel koordinatları bir metrikten bağımsız olarak tanımlama girişiminde doruğa ulaştı. Buna koşut olarak analitik yöntemler de gelişti; A. F. Möbius (1790-1868) ve J. Plüc-ker (1801-1868) homojen koordinatları gündeme getirdi, izdüşümsel geometri ilkelerinin ve özellikle iklllik ilkesinin analitik bir açıklamasını hazırladı.
Eukleidesçi olmayan geometriler'in (sentetik ya da analitik) ortaya çıkışı Eukleides geometrisinin durumunu derinden sarstı ve gerçek dünya ile matematiksel nesneler arasındaki ilişkiyi yeniden gündeme getirdi. Gerçekte, XIX. yy.'a dek Eukleides geometrisinin, algılanabilir dünyayı göz önüne aldığı sanılıyor ve sonuçları mutlak olarak doğru kabul ediliyordu. Bu yüzyılın sonunda, kimi bilim adamları deney verilerinden bağımsız, Eukleides belit sistemi ile mantıksal olarak tutarlı yeni geometrilerin kurulabileceğini sezinlediler; ancak bu durumda, Eukleides'in koşutlara ilişkin 5'inci koyutu yerine, bunun olumsuzunu göz önüne almak gerekiyordu. Eukleides'in ilk yorumcuları koşutlar koyutunun (belli bir noktadan, belli bir doğruya ancak tek bir koşut çizilebilir) doğruluğu üzerine olmasa da kesinliği üzerine kuşkularını dile getirmişler ve gerek bu koyutu tanıtlamaya, gerek bunun yerine daha kesin bir koyut bulmaya çalışmışlardı. Araplar'ın, sonra Saccheri, Lambert, Legendre vb.'nln bu koyutu saçmayla tanıtlama girişimleri, bu koyutun olumsuzunun içerdiği iki varsayımı (belli bir noktadan, belli bir doğruya, sonsuz sayıda koşut çizilebilir ya da tek bir koşut bile çizllemez) göz önüne almaya ve bu varsayımlardan eukleidesçi olmayan geometri teoremlerinden oluşacak önermeleri çıkarmaya olanak verdi.
C. F. Gauss (1777-1855), zamanında yayımlanmamış notlarında, eukleidesçi olmayan geometriye, "şu garip geometri, bizimkinden tamamen farklı... ama kendi içinde tümüyle tutarlı" diyor ve buna Eukleides geometrisi ile aynı ölçüde fiziksel uzayı betimleme hakkını tanıyordu. N. I. Lobaçevskiy (1826) ve J. Bolyai (1832 - 33), belli bir doğruya, dışındaki bir noktadan sonsuz sayıda koşut çizilebilir varsayımına dayanan ve F. Klein'in hiperbolik adını verdiği geometrinin ilk sistemli açıklamalarını yaptılar. Bu geometride, bir üçgenin iç açılarının toplamı 7r rad'dan (ya da 180cden) küçüktür. Ga-uss'un, Göttingen'de öğrencisi olan B. Riemann (1826-1866), öbür varsayımdan çıkarılan eliptik geometriyi inceledi. Gauss'un Eğri yüzeyler üzerine genel araştırmalar (1827) adlı yapıtında açıkladığı diferansiyel geometrinin yerel bakış açısını benimsedi. Gauss bu yapıtta, yüzeyi, yer aldığı uzayın özelliklerinden soyutluyor ve yüzeyi başlıbaşına bir uzay olarak kabul ediyordu; bu anlayış ona sözkonusu yüzeyde birçok geometri tanımlama olanağını verecekti. Riemann (1854) üç boyutlu uzay kavramını aşarak, çok boyutlu büyüklükleri katlı uzayları (yüzey kavramının genelleştirilmesi) göz önüne aldı ve daha genel bir çerçeve çizdi.
Riemann uzayın yapısını sorun olarak ele aldı. Bu yapıdan yalnızca kendi maddesel içeriğinden oluşan ve ayrıca metriğini de belirleyen, üç boyutlu biçimsiz bir katlı uzay kavramı çıkardı. Uzay artık, fiziksel olayların geçtiği yansız bir toplanma yeri değildi; tersine uzayla içerdiği cisimler arasında bir etkileşim vardı.
Riemann, çağının düşüncelerine göre çok ilerdeydi. Geliştirdiği uzay kavramı, daha o dönemde genel görelilik kavramının öncüsü olmasına rağmen, tasarı geometri ile metrik geometri arasındaki tartışma henüz kapanmamıştı. 1859'da Cayley metrik geometriyi izdüşümsel geometrinin bir parçası olarak yorumladı: düzlemsel bir F şeklinin metrik özelliklerinin, F ve temel bir konikten oluşmuş düzlemsel F' şeklinin izdüşümsel özellikleri olduğunu öne sürdü. F. Klein (1871) olası bütün temel konik seçlbılerine karşılık gelen geometrileri belirledi ve eukleidesçi olmayan geometrileri, izdüşümsel geometri içinde topladı.
Metrik geometrilerle izdüşümsel geometri arasındaki bağıntının gün ışığına çıkması üzerine Klein, Erlangen programında (1872), "her iki yöntemde de geçerli genel bir ilke" ortaya koymayı tasarladı. Her geometrinin ayırtedici özelliklerini bir dönüşümler grubuyla belirlemeyi ve bu grubun değişmezlerini inceleyerek geometrinin türünü saptamayı düşünüyordu.
Bu düşünce aşağıdaki sınıflandırmayla sonuçlandı:
1. izdüşümsel geometri (eşci'srmlerin izdüşümsel grubu yoluyla değişmezlerin incelenmesi); bu geometride sonsuzdaki nokta ve doğru kavramı yer alır. izdüşümsel grubun dönüşümleri, düzlemde şu formüllerle belirtilir:
İsim:  1.JPG
Görüntüleme: 833
Büyüklük:  3,0 KB (Kilobyte)
2. Afin geometri (afin grup yoluyla değişmezlerin incelenmesi); bu alanda doğrular korunur, ama uzunluklar ve açı ölçüleri korunmaz. Afin grubun dönüşümleri aşağıdaki formüllerle ifade edilir:
İsim:  2.JPG
Görüntüleme: 782
Büyüklük:  1,9 KB (Kilobyte)
formüllerdeki a1b2-b1a2 determinantı sıfır değildir.
3. Metrik geometri (izometriler grubu yoluyla değişmezlerin incelenmesi); bu incelemede uzaklıklar korunur; dolayısıyla yukarıda belirtilen determinantın değeri 1 ya da (-1) dir.
4. Eukleides geometrisi ("bükülmez" dönüşümler grubu yoluyla [dönme, ötelenme, yansıma] değişmezlerin incelenmesi); burada uzunluk, açıların ölçüsü, boyut ve şekillerin biçimi korunur. (Yukarıdaki determinantın değeri 1 dir.)
5. Afin geometriyle aynı düzeyde yer alan: a) eukleidesçi olmayan geometriler; Klein hiperbolik metrik geometri adını verir (izdüşümler grubunun, bir gerçek koniği değişmez bırakan özel bir altğrubu yoluyla değişmezlerin incelenmesi); b) parabolik metrik geometri; bu geometride açıların ölçüsü korunur.
Topoloji ise, bu görüşe göre, sürekli noktasal dönüşümler grubuna ait değişmezlerin geometrisidir.
Bu sınıflandırmanın tek yetersizliği, diferansiyel geometri ve sonsuz küçükler geometrisi gibi birkaç önemli geometri dalını göz önüne almamasıdır; E-lie Cartan ve Sophus Lie'nin daha sonraki araştırmaları bu eksikliği giderdi. Sonsuz küçükler geometrisi, analitik geometriden doğdu; analitik geometride, diferansiyel ve integral hesabı göz önüne alındı, dolayısıyla bir eğrinin eğriliği ya da bir yüzeyin toplam eğriliği gibi diferansiyeller ya da türevlerle tanımlanan yeni geometrik kavramlar tasarlandı.
Analitik geometrinin İlkesi, descartesçı bir işaretteki noktaların koordinatlarına dayanarak, iki vektörün skaler ve vektörel çarpımlarını, uzaklıkların, alanların ve hacimlerin ölçüsünü, bir doğrultunun tanımını ve yönlü olsun ya da olmasın iki doğrultunun açısını ifade etmektir. Bu işlemlerde eğrilerin ve yüzeylerin denklemleri elde edilir, dolayısıyla salt cebirsel hesaplara dönülür: böylece, kesişim problemleri, denklem çözümlerine indirgenir.
XX. yy.'da, koordinatlarla cebire bağlanan geometri, cebirsel geometri şeklini aldı. Cebirsel geometri, çözümlemeden ve topolojiden alıntılarla önemli ölçüde zenginleşti.
***8226; Tasarı geometri. Bu geometri dalı, geometri problemlerini, uzayda düzlemsel şekillerle çözmeye olanak verir. Bir A noktası, düzjemsel çizimde a yatay izdüşümü («â' = aA, A noktasının tof'udur) ve a' düşey izdüşümü (Sâ = a 'A , A-noktası-nın uzaM/k'ıdır) ile gösterilir, (a, a') ikilisinin gösterimine, A nın arıçizim'i adı verilir.
Çeşitli şekilleri kurmak için temel olarak I ikldüzlemlisi kullanılır: bu durumda kotlar ve uzaklıklar pozitiftir, ikidüzlemlinin (x'x) ayrıtına yer çizgisi adı verilir.

kaynak:2-cilt:8
__________________
NEVART AKADEMİ
www.nevart.net
Güzel Sanatlar Fakültesi/Lisesi Yetenek Sınavlarına Hazırlık Kursu
Resim Yağlı Boya Hobi Kursu
Hızlı ve Etkili Okuma Kursu
Çocuklar için Hızlı Okuma Kursu
Çocuklar için Resim Kursu
Disleksi Eğitimi
Okuma Güçlüğü
Alıntı ile Cevapla
Cevapla

Tags
geometri

Seçenekler
Stil

Yetkileriniz
You may not post new threads
You may not post replies
You may not post attachments
You may not edit your posts

BB code is Açık
[IMG] Kodları Açık
HTML-KodlarıKapalı
Trackbacks are Açık
Pingbacks are Açık
Refbacks are Açık



Bütün zaman ayarları WEZ +2 olarak düzenlenmiştir. Şu anki saat: 17:28 .