İlk istatistik uygulaması-tolerans, varyans ve standart sapma

remşit · #1 22.11.08, 14:57

İlk istatistik uygulamasının, nüfus verilerinin çözümlenmesi olduğu sanılmaktadır. Ancak, bundan geliştirilen bilim dalı, herhangi bir sayısal verinin çözümlenmesini sağlayan bütün yöntemleri içerir. Günümüzde bu yöntemler, bilimsel deneylerin sonuçlarının çözümlenmesi ve endüstride NİTELİK DENETİMİ gibi, çeşitli alanlarda kullanılmaktadır. FİZİK'te de, KUVANTUM KURAMI'nın sonucu olarak, «istatistik mekanik» adı verilen yeni bir dal ortaya çıkmıştır.
Temel kavramlar: Temelde, istatistiğin kullanılğı iki farkU durum vardır (bunların ikisinde de aşağı yukarı benzer yöntemler uygulanır). Birincisi, bilinmeyen bir niceliğin belirlenmesini gerektiren durumdur. Sözgelimi, bir bilimsel deneyde, salınım yapan sarkacın frekansının bulunması zorunlu olabilir. Bu deneyde hiç bir ölçümün tam olarak doğru sonucu vermeyeceğinin bilinmesine karşılık, belirli bir sonuca ulaşılacağı varsayılır. Amaç, birkaç ölçümden sonra ortalama bir değer bulmak ve bu değeri «hata payı»yla birlikte belirtmektir.
İkinci durum ise, bir grup insanın boyu ya da bir üretim zincirinden geçen kusurlu malların sayısı gibi, tek bir yanıtın bulunmadığı sorunları kapsar. Üretim zinciri örneğinde önce, malların boyutları belirlenir ve tolerans sınırlarını gösteren bir sayı verilir. Tolerans sınırlarını aşan değerler, kusurlu malları gösterir. İdeal durum, denetlenen nesnenin ortalama boyutlarının, istenen boyutlara eşit olması, bu eşitlikten ayrılan herhangi bir nesnenin boyutlarının da, tolerans sınırlarını aşmamasıdır.
Ortalama: Ortalama, belirli bir konuyla ilgili bütün verileri, tek bir sayıda genelleştiren bir değerdir. Sözgelimi, bir sarkacın salınım süresini belirlemede en kolay yol, on salınım süresini ölçüp topladıktan son
ERNIE, bir zener diyotundaki gürültü sinyallerini sayarak, rasgele sayılar üreten elektronik bir aygıttır, (üstte) Gürültünün kendi de, rasgele değişen sinyallerden oluşmaktadır ve belirli bir birimi yoktur. Rasgele örnekleme, istatistikte kullanılır.
ra, sonucu ona bölmek ve böylece, bir salınım süresi için ortalama bir değer bulmaktır. Bu işlemin altı kez yinelenmesiyle, aşağıdaki sonuçlar elde edilebilir:

On salınımBir salınım
Ölçmeleriçin geçen süreiçin geçen süre
19,80,98
210,11,01
310,01,00
49,80,98
510,11,01
610,21,02

Altı kez yinelenen ölçmeler sonucunda, bir salınım için geçen ortalama süre:
(0,98 + 1, 01 + 1, 00 + 0, 98 + 1, 01 + 1,02)/6 = 1 saniye olarak bulunur.
Genel olarak, x1, x2,x3 ... xn biçiminde n ölçmenin m ortalama değeri, m=(.X1 + X2+X3+ ...xn)/n eşitliği ile gösterilir.
Tolerans, varyans ve standart sapma: Bir dizi ölçmenin, ortalama sonucuna en yakın değeri elde etmenin çeşitli yolları vardır. Bunların en kolayı toleronstır. Toleransı bulmak için, ortalama değer düzeyinin en altında ve en Üstünde (en fazla sapan) yeralan iki nokta saptanır. Sözgelimi, sarkaç deneyi ele alınırsa, en küçük değer 0,98 saniye, en büyük değer de 1,02 saniyedir. Böylece, 1 saniyelik ortalama değerin çevresinde ±0,02 saniyelik bir tolerans değeri elde edilmiş olur. Bu tolerans yüzde olarak, ±%2 biçiminde gösterilebilir. Dolay isiyle, ölçülen salınım süresinin, en son biçimiyle, 1 saniye ±%2 olarak belirtilmesi gerekir.
Başka bir yöntemde de, ortalama değerden, ortalama sapma bulunur. Ortalama sapma, her ölçü değerinin, büyüklüğüne ya da küçüklüğüne bakılmaksızın, önceden bulunmuş olan ortalama değerden çıkarılması ve bulunan farkların toplanıp, ölçme sayısına bölünmesiyle bulunur. Gene sarkaç örneğinden yararlanılır ve tek tek ölçümlerin ortalama değerden farkları (işaretleri göz önüne alınmaksızın) toplanıp ölçme sayısına bölünürse, şu sonuç bulunur: (0,02 + 0,01 +0,0 + 0,02 + 0,01 + 0,02)/6=0,0133
Burada ortalama sapma,
0,0133 ya da %1%'tür.
Ortalama sapma, matematik yoluyla her zaman kolayca elde edilemediğinden, az kullanılır. Onun yerine çoğunlukla «varyans»di başvurulur. Varyans, ortalama değerden sapmaların karelerinin ortalaması biçiminde tanımlanabilir. Matematik olarak varyans (a2) aşağıdaki gibi gösterilir: d1 = (x1—m)2 + (x2—m)2 + (x3—m)2... + (xn—m)2/n

Ölçme değerlerinin büyük bir bölümünün içinde bulunduğu aralığı belirlediği için, standart sapma, istatistikte büyük önem taşır. Standart sapma, ortalama değer (m) dışında bir noktadan hesaplanırsa, daha büyük bir sonuç verir. Bu nedenle., ortalama değer kavramı, «standart sapmanın en az olduğu değer» olarak tanımlanabilir.
Frekans dağılımları: Boylarının uzunluğu bilinen 200 kişilik bir grubu ele alalım. Tam tamına aynı boyda iki kişi bulunmayacağından, grubu belirli aralıklarda (sözgelimi bir cm'lik) sınıflara, ayırmak yararlı olur. Aynı sınıfa düşen insan sayısı «frekans» diye adlandırılır. Sınıffrekans ilişkisini gösteren tabloya, «frekans dağılımı denir.
Yatay eksene sınıfların, düşsy eksene de frekansların işaretlenmesiyle bu bilgiler, çizime dökülebilir. Çizimlerden birine, “histogram” adı verilir. Histogram, eni sınıf aralıklarına, boyu da sınıf frekansına eşit olan bir dizi dikdörtgenden oluşur.
Sınıf sayıları büyük, bunlara denk düşen sınıf aralıkları da küçük olduğu zaman frekans dağılımı yumuşak bir görünüm kazanacağından, bir sürekli eğri biçiminde birleştirilebilir. Bu durumda genellikle, düşey eksene, frekans yerine frekans oranı (frekansın toplam frekansa oranı) işaretlenir. Yukarda verilen örnekteki frekans dağılımında, toplam frekans 200'dür (incelenen grupların büyüklüğü)! Frekans oranlı dağılım eğrileri kullanıldığında, eğri altında kalan alanın bir birim olması gerekir; çünkü, çeşitli sınıflardaki değişik oranların toplamı bire eşit olmalıdır. Frekans dağılımı eğrilerinde, bazı özellikler açıklık kazanır. Genellikle, frekansın en büyük olduğu bir tek sınıf vardır. Buna «mod» adı verilir. Eğrinin tepe noktası ne kadar belirginse, sınıflar o kadar sık, standart sapma da o kadar küçüktür. Kümenin ortalama yüksekliğini simgeleyen sınıfın, her zaman mod olması gerekmez. Ortalama, modun sağında ya da solunda yeralabilir. Bununla birlikte, eğri bakışımlıysa, ortalama ve mod birbirine özdeştir.
Grafiğin ilgi çeken bir başka noktası da medyandır. Medyan, değişik bir ortalamadır ve kümeyi ikiye ayıran sınıfı simgeler. Grafiğe bakıldığında 100 kişinin medyandan küçük, 100 kişinin de medyandan büyük olduğu görülür.
Bu grafiklerin ikisinden de 200 kişinin ortalama boyu belirlenebilr. Her sınıfın ortalama değerleri Xı, x2, x3...xn ve bunlara denk düşen frekans dağılımları f1, f2,f3... fn ise, boy ortalaması = f1x1 + f2x2+f3x3 +...+ fn xn / f1 + f2 + f3+….+fn,
biçiminde verilir. Burada f1+f2+f3+...+ fn toplamı, kuşkusuz 200 olacaktır.
Olasılık kuramı:Bir yazı tura atışında, yazı ya da tura gelme şansı % 50'şerdir. 100 kez yazı tura atılırsa, bunlardan 50'sinin yazı, 50'sinin de tura gelmesi beklenir. Üst üste 100 kez tura gelmesi, olanaksız değilse de, çok zayıf bir olasılıktır. 99 tura ve bir yazı gelmesi de zayıf, ama 100 kez tura gelmesinden daha kuvvetli bir olasılıktır. Yazı ve turalarla ilgili değişik bir araya geliş biçimleri düzenlenip, bunlar, olasılık değerlerine göre grafiğe dökülürse, elde edilen eğri. daha önceki örnekteki, frekans dağılımı eğrisine benzer. Ancak bu eğri, bakışımlıdır.
İki değişkenin görece büyüklüğüne bağlı olarak, başka olasılık eğrileri de çıkarılabilir. Bu eğrilerden önemli olanlara özel adlar verilir; çünkü bunlar, belirli fizik sorunlarında sık sık karşımıza çıkabilir. Söz konusu eğrilerin belirli frekans dağılımlarına benzerlik göstermeleri raslantı değildir. Bir boy sınıfı içindeki kişilerin sayısı, öteki sınıflardakilerden çoksa, herhangi bir kişinin bu sınıfın içinde olma olasılığı da yüksek olacaktır. Frekans dağılımları, iyi bilinen olasılık eğrilerine uydurulmaya çalışıldığı zaman, dağılımın yapısıyla ilgili önemli ipuçları elde edilir.
Olasılık kuramının istatistikte bir başka uygulama alanı da, ömür süresi deneyidir. Bu deney, seri halde üretilen mallara uygulanır. Ne var ki, malların tümüne uygulanamayacağından, rasgele seçilen bir örnek, bozulana kadar belirli yıpratma deneylerinden geçirilir. Standart sapmasıyla birlikte, örneğin dayanma süresi saptanır. Ama bulunan değerin, öteki ürünlerin de özelliğini yansıtma derecesi, kullanılan örnek miktarının ya da sayısının, toplam ürüne göre büyüklüğüne bağlıdır.
Başka bir deyişle, söz konusu ürünlerin (bunlar insan ya da başka bir nesne de olabilir) her biri tek tek denetlenmedikçe, bu tür sonuçların belirsizlik taşıması kaçınılmazdır. Dolayısıyle istatistik, olasılıklar kuramına dayanır.
İstatistik mekanik; Atom fiziğinde, gözleme işlemi hatalara yolaçar. Helsenberg'in belirsizlik ilkesinde bu, şöyle dile getirilmiştir: Herhangi bir temel taneciğin hem momentumü, hem de konumu, duyarlı olarak aynı anda ölçülemez (momentum, kütle ile hızın çarpımıdır; Bk. DİNAMİK). Herhangi bir anda belirli bir taneciğin konumu duyar'ı olarak biliniyorsa, taneciğin o andaki momentumü bilinmiyor demektir. Bununla birlikte, konum ve momentumun aynı anda hatalı olarak ölçülmesi olanaklıdır.
Maddenin yapısıyla ilgili yasalar (bunlar çağdaş fiziğin temelini oluşturur), içinde yaşadığımız gerçek dünyaya uygulanabilir. Ancak, insanoğlu, modeli uzay ölçeğinde geliştirerek, maddenin moleküllerden, atomlardan ve onlardan da küçük taneciklerden oluştuğunu bulmuştur (Bk. TANECİK FİZİĞİ). Bu akıl yürütme, mikroskopik cisimlerin varlığına ilişkin deneylere de uyar.
Mikroskopik birimler, kümelerin (sözgelimi katıların, gazların, sıvıların makroskopik dünyasını oluşturan kümelerin) birer üyesidir. Bu üyelerde bulunduğu düşünülen özelliklerin, bütün kümeler üstünden alınan ortalaması, içinde yaşadığımız makroskopik dünya bulgularına uyuyorsa, o zaman bu küçük taneciklere yakıştırdığımız özelliklerin doğruluğuna inanırız. İstatistik mekaniğin konusu budur.

Kaynak:4-4.cilt

Nüve Forum » Kütüphane » Bilim ve Teknoloji » Araçlar ve Gereçler »

Seçenekler
Yazdırılabilir şekli göster Sayfayı E-Mail olarak gönder
Stil
Normal Hybrid-Şeklinde gösterime geç Ağaç şeklinde gösterime geç

Bunlara Baktınız mı?